Shannon-Theorem

Das Shannon-Theorem gibt an, wie viele Daten ein Übertragungskanal höchstens tragen kann. Die Grenze hängt von nur zwei Größen ab: der verfügbaren Bandbreite und dem Abstand zwischen Signal und Rauschen. Sie ist keine technische Hürde, sondern eine physikalische Obergrenze.

Die Formel

C = B × log₂(1 + S/N)

C = Kapazität in Bit pro Sekunde
B = Bandbreite in Hertz
S/N = Verhältnis von Signal- zu Rauschleistung (linear, nicht in Dezibel)

Ein Rechenbeispiel mit realistischen Werten: 10 MHz Bandbreite und ein Rauschabstand von 30 dB. Dreißig Dezibel entsprechen linear dem Faktor 1.000.

C = 10.000.000 × log₂(1001) ≈ 10.000.000 × 9,97 ≈ 99,7 Mbit/s

Mehr ist über diesen Kanal nicht zu übertragen — mit keinem Verfahren, keiner Codierung und keinem künftigen Fortschritt.

Der entscheidende Zusammenhang

Hier liegt die praktisch wichtigste Aussage des Theorems, und sie ist unsymmetrisch:

Bandbreite geht linear ein, der Rauschabstand nur logarithmisch.

Verdoppelt man die Bandbreite, verdoppelt sich die Kapazität. Verdoppelt man dagegen den Rauschabstand, wächst die Kapazität nur um einen Bruchteil — jede zusätzliche Verdoppelung bringt gerade ein Bit je Symbol.

Daraus erklärt sich die Entwicklung aller Übertragungsverfahren: Wer die Rate steigern will, greift zuerst nach mehr Bandbreite. Höhere Frequenzen bei DSL, breitere Kanäle im WLAN, mehr Spektrum im Mobilfunk — alles folgt dieser Rechnung. Der Rauschabstand wird nur dort verbessert, wo Bandbreite nicht zu haben ist.

Warum DSL-Raten mit der Länge fallen

Das Theorem erklärt den bekanntesten Effekt der Kupferleitung. Mit zunehmender Länge nimmt die Dämpfung zu, und zwar besonders bei hohen Frequenzen. Das Signal am Ende der Leitung ist schwächer, das Rauschen bleibt gleich — der Rauschabstand sinkt.

Betroffen sind dabei zuerst die hohen Frequenzen, also der Teil der Bandbreite, der die meiste Kapazität trug. Deshalb fällt die Rate nicht gleichmäßig, sondern überproportional: Eine doppelt so lange Leitung trägt deutlich weniger als die Hälfte.

Dasselbe gilt im Funk. Ein Gerät am Rand der Reichweite hat einen schlechteren Rauschabstand und fällt auf ein robusteres, langsameres Übertragungsverfahren zurück — nicht weil das Gerät schwächer ist, sondern weil die Rechnung nichts anderes zulässt.

Was das Theorem nicht sagt

Es nennt kein Verfahren. Die Grenze ist erreichbar, aber Shannon sagt nicht, wie. Die Annäherung daran ist die Geschichte der Kanalcodierung — moderne Fehlerkorrekturverfahren kommen bis auf Bruchteile eines Dezibels heran.

Es gilt für einen Kanal. Mehrere parallele Kanäle addieren ihre Kapazität. Genau darauf beruhen Verfahren mit mehreren Antennen und die gleichzeitige Nutzung mehrerer Adernpaare: nicht die Grenze überwinden, sondern mehrere Kanäle nutzen.

Es berücksichtigt keinen Overhead. Die Kapazität ist der Rohwert. Was als Nutzdatenrate ankommt, liegt darunter — Rahmenköpfe, Bestätigungen und Zugriffsverfahren gehen davon ab.

Es sagt nichts über Verzögerung. Ein Kanal kann die volle Kapazität tragen und dabei hohe Laufzeiten haben.

Abgrenzung

Das Nyquist-Kriterium gibt an, wie viele Symbole je Sekunde eine Bandbreite trägt — doppelt so viele wie die Bandbreite in Hertz. Es sagt nichts darüber, wie viele Bit in einem Symbol stecken; das begrenzt Shannon über den Rauschabstand. Beide zusammen ergeben die Obergrenze.

Leitungscodes und Modulationsverfahren sind die Umsetzung: Sie entscheiden, wie viele Bit je Symbol übertragen werden, und stoßen dabei an die Shannon-Grenze.

Der Rauschabstand ist die Eingangsgröße, die in der Praxis gemessen wird — bei DSL und im Kabelnetz die Kennzahl, aus der sich die erreichbare Rate ableiten lässt.

Die Vorwärtsfehlerkorrektur ist das Mittel, mit dem sich die theoretische Grenze praktisch ausnutzen lässt.

Quellen

• Claude E. Shannon: A Mathematical Theory of Communication (1948)
• ITU-T G.992 und G.993: Übertragungsverfahren auf Kupferleitungen
• IEEE Std 802.11: Wireless LAN, Abschnitte zu den Übertragungsraten